จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรีไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา
ในทางคณิตศาสตร์ เซตของจำนวนเชิงซ้อน คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน i ซึ่งทำให้สมการ i2 + 1 = 0 เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน z ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป x + iy โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก x และ y ว่าส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ z ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จำเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า “เชิงซ้อน” ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

เนื้อหา [ซ่อน]
1 นิยาม
1.1 ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน
1.2 จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม
2 สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง
2.1 ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
2.2 สังยุคเชิงซ้อน
2.3 ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน
2.4 ระนาบเชิงซ้อน
3 สมบัติต่างๆ
3.1 การเรียงลำดับ
3.2 ปริภูมิเวกเตอร์
3.3 สมบัติเชิงพีชคณิต

[แก้] นิยาม
[แก้] ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ (a,b) ทั้งหมดโดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ + (การบวก) และ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ (a,b) และ (c,d) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

การบวกและการคูณมีสมบัติปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
มีเอกลักษณ์การบวกคือ (0,0)
มีเอกลักษณ์การคูณคือ (1,0)
อินเวอร์สการบวกของ z = (a,b) (เขียนแทนด้วย − z) คือ (-a,-b)
ถ้าหาก อินเวอร์สการคูณของ z (เขียนแทนด้วย z − 1) คือ
[แก้] จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม
อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

เมื่อ c เป็นจำนวนจริงและ (a,b) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ (1,0) และ (0,1) กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ (a,0) = a(1,0) ว่าเป็นจำนวนจริง a (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ i แทน (0,1) จำนวนเชิงซ้อน (a,b) จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า a + bi ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า i2 = ( − 1,0) = − 1 นั่นคือ i เป็นคำตอบของสมการ x2 + 1 = 0 ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม x2 + 1 อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม กับไอดีล (x2 + 1) เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

[แก้] สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง
[แก้] ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
ถ้า เราเรียก a ว่า ส่วนจริง ของ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และเราเรียก b ว่า ส่วนจินตภาพ ของ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ

[แก้] สังยุคเชิงซ้อน
ถ้า เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ z คือ เราเขียนแทนสังยุคของ z ด้วย สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

1.
2.
3.
4.
เมื่อ z, z1, z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

[แก้] ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน
ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน เขียนแทนด้วย | z | คือจำนวนจริงบวก เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บนระนาบคาร์ทีเชียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

1.
2.
3.
4. (อสมการสามเหลี่ยม)
5.
6. ก็ต่อเมื่อ
เมื่อ z, z1, และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง a ด้วยจำนวนเชิงซ้อน (a,0) ทำให้เราได้ว่าถ้า

[แก้] ระนาบเชิงซ้อน
เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน คือ (a,b) ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ เมื่อ r = | z | และ เป็นมุมที่เวกเตอร์ (a,b) ทำกับแกน x ในหน่วยเรเดียน เราเรียก ว่า อาร์กิวเมนต์ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ 2π จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้

และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า

และ

เมื่อ ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย i = eiπ / 2 จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ i2 = − 1 ได้อีกนัยหนึ่งว่า “การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา” หรือ “เมื่อหมุนเวกเตอร์ (0,1) ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1,0)”

[แก้] สมบัติต่างๆ
[แก้] การเรียงลำดับ
ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

[แก้] ปริภูมิเวกเตอร์
อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน (-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป

เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน f1(z) = a(z) เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า f1 เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ f2 ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

[แก้] สมบัติเชิงพีชคณิต
(หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ C) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้

มีแคแรกเทอริสติก 0
มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใดๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)
ด้วยเหตุนี้ จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ บนเชตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง

About these ads

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: